Para comenzar debemos recordar cómo se calcula la pendiente de una recta dada por dos puntos (a,b) y (a',b') :

Dada una función suave y un punto (x0; f(x0)), tomaremos un intervalo alrededor de dicho punto. Si la función es suave, este intervalo será casi un segmento. Si extendemos este segmento obtenemos una recta que es la que mejor aproxima al gráfico de la función en un intervalo alrededor del punto elegido. Esta recta la llamaremos recta tangente al gráfico de f(x) para (x0; f(x0)).

Hay que aclarar que el hecho de que se llame tangente no implica que corta al gráfico de f(x) en un solo punto como pasa con la recta tangente de una circunferencia.

Mostraremos por medio de gráficos esta idea:

Todo nuestro problema consiste en hallar la ecuación de esa recta. Para eso, tomaremos otro punto (x0 + h; f(x0 + h)) como muestra la gráfica:

Por este punto (azul) y el punto original (negro) podemos trazar una recta.

Esta recta azul, no es la buscada pero, como conocemos 2 puntos de esta recta, podemos calcular su pendiente que será: m =

Ahora tomemos otro punto más cerca de (x0; f(x0)) al que también llamaremos (x0+h; f(x0+h))

(conviene llamarlo igual que el punto azul, para no confundirlos lo pintaremos de otro color)

Nuevamente por el punto naranja y por el negro puedo trazar una recta:

Ahora podemos calcular la pendiente de la recta roja que será m =

Volvamos a hacerlo:

Como vemos en los gráficos, cuanto más cerca tomamos el nuevo punto del punto original (cuanto más pequeño es h), la recta trazada está más cerca de la recta negra que es la que buscamos.

Por lo tanto, podemos afirmar que la pendiente de la recta negra será:

m =

Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto y se nota f´(x0), por lo que:

 

¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?

Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :

Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3

Entonces, la recta tangente al gráfico de y = x2 en el punto (3; 9) tiene pendiente 6.

Si queremos encontrar la ecuación de la recta, sabemos que es y = 6x + b, como pasa por el punto (3; 9), 9 = 6.3 + b, de donde b = -9. Por lo tanto, la ecuación de la recta buscada es y = 6x – 9.

Supongamos ahora que, teniendo nuevamente y = x2, queremos calcular la ecuación de la recta tangente en 90 puntos diferentes. Para no tener que calcular 90 límites, haremos lo siguiente:

 Si sustituimos x0 por la coordenada x de cada uno de los 90 puntos, obtendremos la pendiente de las 90 rectas.

Por lo tanto:

La derivada de una función f(x) es otra función f´(x) que especializada en un valor x0, me dá la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (x0; f(x0))

Esto es importante ya que la derivada no es una pendiente, la pendiente de una recta es un número que obtenemos especializando la derivada.

Hagamos otro ejemplo:

Calcular la derivada de la función y =

Si queremos calcular la recta tangente para x = 17, procedemos así:

por lo que la recta pasa por el punto (17; 7)

Calculamos por lo que la pendiente de la recta tangente es .

Entonces, la recta es , reemplazando por el punto, , por lo que , entonces la recta es .

Ejercitación

  1. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = 2.

  2. Averigua en qué punto la recta tangente a tiene pendiente ¼ ¿Cuál es la ecuación de dicha recta?

  3. ¿Para qué valor del dominio de la función la pendiente de la recta tangente es –3?

  4. Encuentra los puntos (x; y) donde la recta tangente al gráfico de es:

    1. Paralela a la recta:

    2. Perpendicular a la recta:

    3. Horizontal

 

  1. Una recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas, es tangente a la función . Halla el punto de tangencia

  2. Halla los puntos de la gráfica en los cuales la tangente a tiene una inclinación de 45º.

 

  1. Determina para qué valores de la abscisa x, la pendiente de la recta tangente vale 5 si

 

  1. Dibuja la parábola: . ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante?

  2. Encuentra la recta tangente a la función: en x = -2

  3. ¿Para que valor de “r” la recta es tangente a la curva en x = -1?

  4. Si la recta tangente al gráfico en el punto (a; r(a)), con a > 0, es perpendicular a la recta: , entonces, es a =......

 

  1. Calcula el valor de la constante “a” para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto P ( 0; f(0)) sea 2.

 

 

13)Halla, si existe, un punto Q tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de en el punto Q sea

 

Respuestas:

  1. f´(x) = 2x – 4; recta: y = 0

  2. h´(x) = ; punto: (4; 2); recta: y =

  3. f´(x) = -2x+1; x = 2

  4. f´(x) = 3x2-2. a) (1; 2) ^ (-1; 4) b)

c)

 

  1. g´(x) = 2x; punto:

  2. f´(x) = ; Puntos: (0; 0); y

  3. f´(x) = 3x2+1, x = x =

  4. h´(t) = 2t – 1; punto: (0; -6)

  5. f´(x) = ; recta: y =

  6. r = 1

  7. r´(x) = ; a = 3.

  8. f´(x) = ; a =

  9. f´(x) = 3x2-2x; punto: (2; 5)

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Fecha: 6/9/2020 | Creado por: Ester Fabiana
Categoria: Derivadas
Etiquetas: matematica, ort